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数值模拟

数值生活百科


数值模拟

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数值模拟（数值法）是对数学模型的一种近似解法，它仅能求出计算域内有限点某个时刻水头的近似值，这个值在实际应用中可以满足精度要求 。数值法可以解决许多复杂水文地质条件下的渗流计算问题，应用十分广泛 。如用于大中型水源地、地下水的补径排条件复杂、渗流区形状不规则、含水介质为非均质各向异性等条件下，确定水头分布和流量计算 。
（一）渗流区域离散化（以二维流为例）
采用数值模拟技术研究地下水的运动，首先将要研究的水文地质模型内的含水层离散化 。所谓离散化，就是将要研究的渗流区非均质各向异性含水层，按照一定的方式剖分（分割）成许多相互联系的小均衡区，在每个小均衡区内是均质各向同性的 。在每个小的均衡区内，其含水层参数视为常数；其中心水头值或有条件下的平均水头值视为小均衡区内水头代表值 。剖分通常采用两种形式（矩形、多边形）进行 。
1.矩形均衡域
它是用两组正交的平行线把均衡区分为许多小的矩形均衡域，如图7-3所示 。在剖分时约定：①定水头或已知水头边界（一类边界）应从小均衡域的中心通过；②隔水边界（二类边界）与小均衡域的边界重合 。这种剖分方法类似于直角坐标系，用适当的编号标定小区域及节（结）点（小均衡域的中心点） 。常用的术语有：
图7-3 渗流区被剖分成矩形小均衡域
图7-3 渗流区被剖分成矩形小均衡域
（据李俊亭等，1987）
1）点、行、列，点（节点）为小区域的中心点，网格的横向称行，竖向称列 。
2）步长，分为空间步长（Δx，Δy，Δz）（图7-3）和时间步长（Δt） 。
3）小区域及节点编号统一记为（i，j），表示小区域及节点位于第i行第j列 。
2.多边形均衡域
由于多边形均衡域与复杂边界的几何形状比较接近，因此使用较多 。它是先按三角形剖分渗流域，再以三角形为基础构成多边形均衡域，见图7-4 。常用的术语及注意事项：
1）点元、面元、线元，三角形的边称线元，三角形的顶点称点元（节点或结点），三角形的面积称面元；
2）要求剖分时三角形的单个内角取30°～90°；
3）渗流区剖后的面积与原面积要吻合，既不要重复也不要开裂 。
（二）基本均衡离散方程（以规则网格的有限差分方法为例）
将图7-3中的（i，j）的均衡区与相邻均衡域的水量交换关系表示在图7-5上 。
图7-4 渗流区域三角形
图7-4 渗流区域三角形
图7-5（i，j）均衡区的流量关系示意
图7-5（i，j）均衡区的流量关系示意
（据李俊亭等，1987）
1）均衡时段为Δtn+1：
Δtn+1=tn+1-tn0
表示点（i，j）上tn时刻的水头 。
2）若（i，j）均衡区内不存在垂向水量交替，则依据水均衡原理有：
地下水动力学
地下水动力学
在x轴方向上不同均衡时段分别为：
地下水动力学
地下水动力学
式中：
地下水动力学
地下水动力学
3）考虑到式（7-14）与式（7-15）的不同，会产生不同的计算结果 。计算方案（差分格式）将写出如下通式：
地下水动力学
地下水动力学
式中：0≤θ≤1 。θ常取3种情况：①当θ=0时称有限差分法的显示差分格式；②当θ=1/2时称有限差分法的对称（中心）差分格式；③θ=1称有限差分法的隐式差分格式 。

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